Một cái thùng đựng đầy nước được tạo thành từ việc cắt mặt xung quanh của một hình nón bởi một mặt phẳng vuông góc với trục của hình nón. Miệng thùng là đườ...

Gọi R là bán kính của khối cầu. Khi đó thể tích nước tràn ra ngoài là thể tích của một nửa khối cầu nên $\frac{1}{2}.\frac{4}{3}\pi R^3=54\sqrt{3}\pi \iff R=3\sqrt{3}$.

Do đó chiều cao của thùng nước là $h=\frac{2}{3}.2R=4\sqrt{3}$.

Cắt thùng nước bởi thiết diện qua trục ta được hình thang cân $ABCD$ với $AB=3CD$. Gọi O là giao điểm của $AD$và $BC$ thì tam giác $OAB$ cân tại .

Gọi $H$ là trung điểm của đoạn thẳng $AB$ và $I$ là giao điểm của $OH$ và $CD$ $\to I$ là trung điểm của $DC$ nên $DI=\frac{1}{3}AH$.

Ta có $\frac{OI}{OH}=\frac{DI}{AH}=\frac{1}{3}$ $\to OH=\frac{3}{2}HI=6\sqrt{3}$

Gọi $K$ là hình chiếu của $H$ trên $OA$ thì $HK=R=3\sqrt{3}$

Tam giác $OHA$ vuông tại H có đường cao $HK$ nên

$\frac{1}{H{K}^2}=\frac{1}{H{O}^2}+\frac{1}{A{H}^2}\to \frac{1}{A{H}^2}=\frac{1}{H{K}^2}-\frac{1}{H{O}^2}=\frac{1}{36}$$\to AH=6\to DI=2$

Thể tích thùng đầy nước là $\frac{h\pi \left(A{H}^2+D{I}^2+AH.DI\right)}{3}=\frac{4\sqrt{3}\pi \left(6^2+2^2+6.2\right)}{3}=\frac{208\sqrt{3}\pi }{3}$

Do đó thể tích nước còn lại là$\frac{208\sqrt{3}\pi }{3}-54\sqrt{3}\pi =\frac{46\sqrt{3}\pi }{3}\left(d{m}^3\right)$.