Cho hàm số y=fx liên tục trên ℝcó đồ thị hàm số y=f'x cho như hình vẽ. Hàm số gx=2fx−1−x2+2x+2020 đồng biến trên khoảng nào?

Khi đó: $h^{\text{'}}\left(t\right)>0\iff f^{\text{'}}\left(t\right)-t>0\iff f^{\text{'}}\left(t\right)>t$$\iff \left[\begin{array}{l}t<-1\\ 1<t<3\end{array}\right.$.

Do đó: $k^{\text{'}}\left(x-1\right)>0\iff \left[\begin{array}{l}x-1<-1\\ 1<x-1<3\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}x<0\\ 2<x<4\end{array}\right.$.

Ta có bảng biến thiên của hàm số $k\left(x-1\right)=2f\left(x-1\right)-{\left(x-1\right)}^2+2021$

.

Khi đó, ta có bảng biến thiên của $g\left(x\right)=2f\left(\left|x-1\right|\right)-{\left(x-1\right)}^2+2021$ bằng cách lấy đối xứng qua đường thẳng $x=1$ như sau: