Cho phương trình logaaxlogbbx=2020 với a, b là các tham số thực lớn hơn 1. Gọi x1, x2 là các nghiệm của phương trình đã cho. Khi biểu thức P=6x1x2+a+b+314a+4b đạt...

* Hướng dẫn giải

Chọn D

Ta có ${\log }_a\left(ax\right){\log }_b\left(bx\right)=2020$

$\iff \left(1+{\log }_{a}x\right)\left(1+{\log }_{b}x\right)=2020\iff \left(1+{\log }_{a}x\right)\left(1+{\log }_{b}a{\log }_{a}x\right)=2020$

Đặt $\left\{\begin{array}{l}m={\log }_{b}a\\ t={\log }_{a}x\end{array}\right.$(Do $a,b>1\Rightarrow m>0$).

Suy ra: $\left(1+t\right)\left(1+mt\right)=2020$$\iff m{t}^2+\left(m+1\right)t-2019=0\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\left(*\right)$

Xét $\Delta ={\left(m+1\right)}^2+\mathrm{4.2019.}m>0\Rightarrow m>0$.

Vậy phương trình $\left(*\right)$ luôn có 2 nghiệm phân biệt $t_1,t_2$.

Theo Vi-et ta có: $t_1+t_2=-\frac{m+1}{m}$$\Rightarrow {\log }_a{x}_1+{\log }_a{x}_2=-\frac{{\log }_{b}a+1}{{\log }_{b}a}$

$\Rightarrow {\log }_a{x}_1{x}_2=-\left(1+{\log }_{a}b\right)=-{\log }_{a}ab$$\Rightarrow x_1{x}_2=\frac{1}{ab}$

Do đó $P=6x_1{x}_2+a+b+3\left(\frac{1}{4a}+\frac{4}{b}\right)$

$\iff P=\frac{6}{ab}+a+b+3\left(\frac{1}{4a}+\frac{4}{b}\right)$

$\iff P=\left(\frac{6}{ab}+\frac{2}{3}a+\frac{1}{4}b\right)+\left(\frac{1}{3}a+\frac{3}{4a}\right)+\left(\frac{3b}{4}+\frac{12}{b}\right)$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho các bộ số ta được: $P\ge 3+1+6=10$.

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $a=\frac{3}{2};b=4$. Vậy $a+b=\frac{11}{2}$.