Cho số phức z thỏa mãn |z|=2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Gọi $M\left(x;y\right)$ là điểm biểu diễn cho số phức z, ta có $\left|z\right|=2\iff x^2+y^2=4$.
Gọi $A\left(4;0\right), B\left(3;-2\right)$, khi đó $P=\left|z-4\right|+2\left|z-3+2i\right|=MA+2MB$.
Ta có $MA=\sqrt{{\left(x-4\right)}^2+y^2}=\sqrt{x^2+y^2-8x+16}=\sqrt{x^2+y^2-8x+4+3\left(x^2+y^2\right)}=\sqrt{4x^2+4y^2-8x+4}$

$=2\sqrt{{\left(x-1\right)}^2+y^2}=2ME$ với $E\left(1;0\right)$.
Thấy E nằm trong và B nằm ngoài đường tròn (C): $x^2+y^2=4$.
Ta được $P=MA+2MB=2ME+2MB\ge 2EB$. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi E, M, B thẳng hàng. Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng $2EB=2\sqrt{4+4}=4\sqrt{2}$.

Chọn đáp án C