Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai mặt cầu

Mặt cầu $\left(S_1\right)$ có tâm $I_1=\left(1;1;1\right)$, bán kính $R_1=5$. Mặt cầu $\left(S_2\right)$ có tâm $I_2=\left(3;-2;-1\right)$, bán kính $R_2=3$. Ta có $\left|R_1-R_2\right|<I_1{I}_2=\sqrt{17}<R_1+R_2$ nên hai mặt cầu này cắt nhau. Do đó mặt phẳng $\left(P\right)$ tiếp xúc ngoài hai mặt cầu.
Giả sử mặt phẳng $\left(P\right)$ tiếp xúc $\left(S_1\right),\left(S_2\right)$ theo thứ tự tại điểm $H_1,H_2$. Gọi $M=I_1{I}_2\cap \left(P\right)$ theo định lý Talet ta có $\frac{M{I}_2}{M{I}_1}=\frac{I_2{H}_2}{I_1{H}_1}=\frac{R_2}{R_1}=\frac{3}{5}\Rightarrow \overrightarrow{M{I}_2}=\frac{3}{5}\overrightarrow{M{I}_1}\iff \left\{\begin{array}{l}3-a=\frac{3}{5}\left(1-a\right)\\ -2-b=\frac{3}{5}\left(1-b\right)\\ -1-c=\frac{3}{5}\left(1-c\right)\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a=6\\ b=-\frac{13}{2}\\ c=-4\end{array}\right.$. Vậy các mặt phẳng $\left(P\right)$ luôn đi qua điểm $M\left(6;\frac{-13}{2};-4\right)$ và $S=a+b+c=-\frac{9}{2}$.

Chọn đáp án C