Trên mặt phẳng (P) cho ba hình tròn bán kính a tâm là O1;O2;03 đôi một tiếp xúc ngoài với nhau. B

Câu hỏi :

Trên mặt phẳng (P) cho ba hình tròn bán kính a tâm là $O_1;O_2;O_3$  đôi một tiếp xúc ngoài với nhau. Ba hình tròn đó là ba đáy của ba hình nón mà các đỉnh tương ứng là ba điểm $S_1,S_2,S_3$  nằm cùng phía đối với mặt phẳng (P) và cùng cách (P) một khoảng $2a\sqrt{2}$ . Mặt cầu tiếp xúc với $\left(S_1{S}_2{S}_3\right)$  và tiếp xúc ngoài với ba hình nón trên có bán kính bằng

* Đáp án

B

* Hướng dẫn giải

Đáp án B

Gọi mặt cầu cần tìm là (O;R) và tiếp điểm của nó với $\left(S_1{S}_2{S}_3\right)$ là I. Thiết diện qua $O,O_1,S_1$ như hình vẽ trên. Dễ thấy $S_{1}I=\frac{2a\sqrt{3}}{3}$.

Mặt khác, ta có: $S_{\Delta S_{1}AB}=\left(\frac{S_{1}A+S_{1}B+2a}{2}\right).O_{1}K\iff O_{1}K=\frac{2a^2\sqrt{2}}{\left(a+3a\right)}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$.

Ta có: $\Delta S_{1}IO\Delta A{O}_{1}K\Rightarrow \frac{OI}{O_{1}K}=\frac{I{S}_1}{A{O}_1}\Rightarrow R=OI=\frac{\frac{2a\sqrt{3}}{3}.\frac{a\sqrt{2}}{2}}{a}=\frac{a\sqrt{6}}{3}$.