Xét các số phức z thỏa mãn |z^2-2z+5| . Giá trị nhỏ nhất của |z+1-i| bằng

: Đáp án B

Ta có: $\left|z^2-2z+5\right|=\left|\left(z-1+2i\right)\left(z+3-4i\right)\right|\iff \left|z-1+2i\right|.\left|z-1-2i\right|=\left|z-1+2i\right|.\left|z+3-4i\right|$

          $\iff \left[\begin{array}{l}\left|z-1+2i\right|=0\\ \left|z-1-2i\right|=\left|z+3-4i\right|\end{array}\right.$.

Trường hợp 1: $\left|z-1+2i\right|=0\iff z=1-2i\Rightarrow \left|z+1-i\right|=\left|2-3i\right|=\sqrt{13}$.

Trường hợp 2: $\left|z-1-2i\right|=\left|z+3-4i\right|$. Đặt $z=x+yi\left(x,y\in ℝ\right)$.

Khi đó $\left|z-1-2i\right|=\left|z+3-4i\right|\Rightarrow \sqrt{{\left(x-1\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2}=\sqrt{{\left(x+3\right)}^2+{\left(y-4\right)}^2}\iff 2x-y+5=0\left(d\right)$.

Gọi $M\left(x;y\right),A\left(-1;1\right)$ lần lượt là điểm biểu diễn các số phức  z và -1+i. Ta có: $\left|z+1-i\right|=MA$.

Đoạn thẳng MA đạt giá trị nhỏ nhất khi M là hình chiếu vuông góc của điểm A trên đường thẳng d.

Mặt khác, $d\left(A;d\right)=\frac{2\sqrt{5}}{5}$ nên $\min MA=\frac{2\sqrt{5}}{5}$ khi $M\left(-\frac{9}{5};\frac{7}{5}\right)$.

So sánh hai trường hợp ta thấy $\min \left|z+1-i\right|=\frac{2\sqrt{5}}{5}$ khi $z=-\frac{9}{5}+\frac{7}{5}i$.