Cho điểm A(0;8;2) và mặt cầu (S) có phương trình (S)=(X-5)^2+(Y+3)^2+(Z-7)^2=72 và

: Đáp án D

Mặt phẳng $\left(P\right)$ qua A có dạng $a\left(x-0\right)+b\left(y-8\right)+c\left(z-2\right)=0\iff ax+by+cz-8b-2c=0$.

Điều kiện tiếp xúc:

$d\left(I;\left(P\right)\right)=6\sqrt{2}\iff \frac{\left|5a-3b+7c-8b-2c\right|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}=6\sqrt{2}\iff \frac{\left|5a-11b+5c\right|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}=6\sqrt{2}\left(*\right)$

Mà $d\left(B;\left(P\right)\right)=\frac{\left|9a-7b+23c-8b-2c\right|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}=\frac{\left|9a-15b+21c\right|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$

$=\frac{\left|5a-11b+5c+4\left(a-b+4c\right)\right|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\le \frac{\left|5a-11b+5c\right|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}+4\frac{\left|a-b+4c\right|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$

          $\le 6\sqrt{2}+4\frac{\sqrt{1^2+{\left(-1\right)}^2+4^2}.\sqrt{a^2+b^2+c^2}}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}=18\sqrt{2}$.

Dấu “=” xảy ra khi $\frac{a}{1}=\frac{b}{-1}=\frac{c}{4}$. Chọn $a=1;b=-1;c=4$ thỏa mãn (*).

Khi đó $\left(P\right):x-y+4z=0$. Suy ra $m=-1;n=4$. Suy ra: $m.n=-4$.