Biết rằng đồ thị hàm số yx^3-(2a+1)x^2+(2a^2+2a)x+b cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ dương

Đáp án C

Ta có $\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2+x_3=2a+1\\ x_1{x}_2+x_2{x}_3+x_3{x}_1=2a^2+2a\end{array}\right.\Rightarrow {\left(x_1+x_2+x_3\right)}^2-2\left(x_1{x}_2+x_2{x}_3+x_3{x}_1\right)=1$.

Do vậy: $x_1^2+x_2^2+x_3^2=1$. Xét các số thực dương $p,q,r$ sao cho đẳng thức xảy ra khi $x_1=p$,$x_2=q$, $x_3=r$.

Áp dụng AM – GM: $\frac{2x_1}{p}+\frac{3x_2}{q}+\frac{4x_3}{r}=\frac{x_1}{p}+\frac{x_1}{p}+\frac{x_2}{q}+\frac{x_2}{q}+\frac{x_2}{q}+\frac{x_3}{r}+\frac{x_3}{r}+\frac{x_3}{r}+\frac{x_3}{r}\ge 9\sqrt[9]{\frac{x_1^2{x}_2^3{x}_3^4}{p^2{q}^3{r}^4}}$.

Lại có: ${\left(\frac{2x_1}{p}+\frac{3x_2}{q}+\frac{4x_3}{r}\right)}^2\le \left(x_1^2+x_2^2+x_3^2\right)\left(\frac{4}{p^2}+\frac{9}{q^2}+\frac{16}{r^2}\right)=\frac{4}{p^2}+\frac{9}{q^2}+\frac{16}{r^2}$.

Khi đó ta có đẳng thức xảy ra khi:$x_1:x_2:x_3=\frac{2}{p}:\frac{3}{q}:\frac{4}{r}\iff \frac{p{x}_1}{2}=\frac{q{x}_2}{3}=\frac{r{x}_3}{4}\iff \frac{p^2}{2}=\frac{q^2}{3}=\frac{r^2}{4}$.

Mà $p^2+q^2+r^2=1$ nên $p=\frac{\sqrt{2}}{3};q=\frac{\sqrt{3}}{3};r=\frac{2}{3}$ do đó: $\frac{2x_1}{p}+\frac{3x_2}{q}+\frac{4x_3}{r}\le 9$ nên $\sqrt[9]{\frac{x_1^2{x}_2^3{x}_3^4}{p^2{q}^3{r}^4}}\le 1$.