Cho hình chóp S.ABCD có cạnh BC=3A và SA vuông góc với mặt phẳng

* Hướng dẫn giải

Chọn đáp án D

Ta có \(\frac{{{V_{S.AMN}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \frac{{SA}}{{SA}}.\frac{{SM}}{{SB}}.\frac{{SN}}{{SC}} = \frac{{SM}}{{SB}}.\frac{{SN}}{{SC}}\)(1)

Lại có \(S{A^2} = SM.SB\) và \(S{A^2} = SN.SC\)

\( \Rightarrow SM.SB = SN.SC \Rightarrow \frac{{SM}}{{SC}} = \frac{{SN}}{{SB}}\)

\( \Rightarrow \Delta SMN\~\Delta SCB{\rm{ }}\left( {c - g - c} \right) \Rightarrow \frac{{SM}}{{SC}} = \frac{{SN}}{{SB}} = \frac{{MN}}{{CB}}.\)

Khi đó từ (1) \( \Rightarrow \frac{{{V_{S.AMN}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \frac{{SM}}{{SC}}.\frac{{SN}}{{SB}} = \frac{{MN}}{{BC}}.\frac{{MN}}{{BC}} = \frac{{M{N^2}}}{{B{C^2}}}.\)

Bài ra \(MN = \frac{{9a\sqrt 2 }}{5}\) và \(BC = 3a \Rightarrow \frac{{{V_{S.AMN}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \frac{{18}}{{25}} \Rightarrow {V_{S.AMN}} = \frac{{18}}{{25}}{V_{S.ABC}}\)

\( \Rightarrow {V_{A.BMNC}} = {V_{S.ABC}} - {V_{S.AMN}} = {V_{S.ABC}} - \frac{{18}}{{25}}{V_{S.ABC}} = \frac{7}{{25}}{V_{S.ABC}} \Rightarrow \frac{{{V_{S.AMN}}}}{{{V_{A.BMNC}}}} = \frac{{18}}{7}.\)