Có tất cả bao nhiêu số nguyên (-2020;2020) để phương trình log23x^2+3x+m+1/2x^2-x+1

Đáp án C

Điều kiện: ${\log }_2\frac{3x^2+3x+m+1}{2x^2-x+1}=x^2-5x+2-m$.

Ta có: $\iff {\log }_2\left(\frac{3x^2+3x+m+1}{2x^2-x+1}\right)-1=x^2-5x+1-m$

$\iff {\log }_2\frac{3x^2+3x+m+1}{4x^2-2x+2}=x^2-5x+1-m$

$\iff {\log }_2\left(3x^2+3x+m+1\right)+\left(3x^2+3x+m+1\right)={\log }_2\left(4x^2-2x+2\right)+\left(4x^2-2x+2\right).\left(1\right)$

Xét hàm số: $f\left(t\right)=t+{\log }_{2}t$ trên $D=\left(0;+\infty \right)$, có $f^{\text{'}}\left(t\right)=1+\frac{1}{t.\ln 2}>\mathrm{0,}\forall t\in D$.

Do đó hàm số $f\left(t\right)$ đồng biến trên D.

Phương trình $\left(1\right)\iff f\left(4x^2-2x+2\right)=f\left(3x^2+3x+m+1\right)$

$\iff 4x^2-2x+2=3x^2+3x+m+1\iff x^2-5x-m+1=0\left(2\right)$

Phương trình có hai nghiệm phân biệt $\iff \Delta =25-4\left(1-m\right)>0\iff m>\frac{-21}{4}$.

Theo định lý Vi-ét ta có $\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=5\\ x_1{x}_2=1-m\end{array}\right.$.

Từ $x_1^3+x_2^3\ge 155\iff {\left(x_1+x_2\right)}^3-3x_1{x}_2\left(x_1+x_2\right)\ge 155\Rightarrow 125-15\left(1-m\right)\ge 155\Rightarrow m\ge 3$.