Cho các số phức z1;z2;z3 thỏa mãn |z1|=|z2|=2|z1-z2|= 2căn bậc hai 2 .

* Hướng dẫn giải

Đáp án B

Gọi A, B, M lần lượt là các điểm biểu diễn số phức $z_1,z_2,z$.

Dựa vào điều kiện $\sqrt{2}\left|z_1\right|=\sqrt{2}\left|z_2\right|=\left|z_1-z_2\right|=2\sqrt{2}\Rightarrow OA=OB=\mathrm{2,}AB=2\sqrt{2}$.

Suy ra ta có tam giác OAB vuông cân tại O.

Phép quay tâm B góc quay -60° ta có: $Q_{\left(B,-60°\right)}:A\mapsto A^{\text{'}};M\mapsto M^{\text{'}}$.

Do tam giác $\Delta BM{M}^{\text{'}}$ đều $\Rightarrow AM=A^{\text{'}}{M}^{\text{'}},BM=M{M}^{\text{'}}$.

Suy ra $P=\left|z\right|+\left|z-z_1\right|+\left|z-z_2\right|=OM+AM+BM=OM+M{M}^{\text{'}}+A^{\text{'}}{M}^{\text{'}}\ge O{A}^{\text{'}}$.

Dấu “=” xảy ra khi $O,M,M^{\text{'}},A^{\text{'}}$ thẳng hàng.

Khi đó tam giác $OB{A}^{\text{'}}$ có $OB=\mathrm{2,}B{A}^{\text{'}}=BA=2\sqrt{2}$ và $\widehat{OB{A}^{\text{'}}}=105°$.

Từ đó suy ra $O{A}^{\text{'}}=\sqrt{O{B}^2+B{A^{\text{'}}}^2-2OB.B{A}^{\text{'}}\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}.\cos 105°}=2\sqrt{2+\sqrt{3}}$. Vậy $\min P=2\sqrt{2+\sqrt{3}}$.