Cho hàm số f(x) có đạo hàm trên R . Biết 4f(x)-[f'(x)]^2=x^2+2x

Dựa vào giả thiết ta xét $f\left(x\right)$ là hàm bậc hai.
Giả sử $f\left(x\right)=a{x}^2+bx+c, x\in ℝ$
$\Rightarrow 4f\left(x\right)=4a{x}^2+4bx+4c$.
Có $f^{\text{'}}\left(x\right)=2ax+b\Rightarrow {\left[f^{\text{'}}\left(x\right)\right]}^2={\left(2ax+b\right)}^2=4a^2{x}^2+4abx+b^2$.
$4f\left(x\right)-{\left[f^{\text{'}}\left(x\right)\right]}^2=4a\left(1-a\right)x^2+4b\left(1-a\right)x+4c-b^2$.
Theo giả thiết $4f\left(x\right)-{\left[f^{\text{'}}\left(x\right)\right]}^2=x^2+2x\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}4a\left(1-a\right)=1\\ 4b\left(1-a\right)=2\\ 4c-b^2=0\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}a=\frac{1}{2}\\ b=1\\ c=\frac{1}{4}\end{array}\right.$.
Như vậy hàm số $f\left(x\right)=\frac{1}{2}{x}^2+x+\frac{1}{4}$ thỏa mãn điều kiện bài toán.
Ta có: $\underset{0}{\overset{1}{\int }}f\left(x\right)\text{d}x=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left(\frac{x^2}{2}+x+\frac{1}{4}\right)\text{d}x={\left.\left(\frac{x^3}{6}+\frac{x^2}{2}+\frac{1}{4}x\right)\right|}_0^1=\frac{11}{12}$.

Chọn đáp án B