Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m thuộc Z

Điều kiện
$\left\{\begin{array}{l}{x}^2-6x+12>0\\ x+2>0\\ mx-5>0\\ mx-5\ne 1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x>-2\\ mx>5\\ mx\ne 6\end{array}\right.\left(I\right)$
Giải phương trình
$\begin{array}{l}{\log }_{mx-5}\left(x^2-6x+12\right)={\log }_{\sqrt{mx-5}}\sqrt{x+2}pt\left(1\right)\\ \iff {\log }_{mx-5}\left(x^2-6x+12\right)={\log }_{mx-5}\left(x+2\right)\\ \iff x^2-6x+12=x+2\\ \iff x^2-7x+10=0\\ \iff \left[\begin{array}{l}x=2\\ x=5\end{array}\right.\end{array}$
Khi $m<0\Rightarrow x<\frac{5}{m}<0$ Suy ra phương trình (1) vô nghiệm
Khi $m=0\Rightarrow 0x>5$ không có x thỏa điều kiện.
Khi $m>0\Rightarrow x>\frac{5}{m}>0$ khi đó $\left(I\right)\iff \left\{\begin{array}{l}x>\frac{5}{m}\\ x\ne \frac{6}{m}\end{array}\right.$
TH1. Phương trình (1)có nghiệm duy nhất $x=2$ khi đó
$\left\{\begin{array}{l}2>\frac{5}{m}\\ 5=\frac{6}{m}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}\frac{2m-5}{m}\\ m=\frac{6}{5}\end{array}\right.>0\iff \left\{\begin{array}{l}m>\frac{5}{2}\\ m=\frac{6}{5}\end{array}\right.\iff m\in \varnothing$
TH2. Phương trình (1) có nghiệm duy nhất $x=5$ khi đó
$\left[\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}5>\frac{5}{m}\\ 2<\frac{5}{m}\end{array}\right.\\ \left\{\begin{array}{l}2>\frac{5}{m}\\ 2=\frac{6}{m}\end{array}\right.\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}\frac{5m-5}{m}>0\\ \frac{2m-5}{m}<0\end{array}\right.\\ \left\{\begin{array}{l}2>\frac{5}{m}\\ m=3\end{array}\right.\end{array}\right.\left[\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}m>1\\ 0<m<\frac{5}{2}\end{array}\right.\\ m=3\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}1<m<\frac{5}{2}\\ m=3\end{array}\right.$
Vậy các giá trị m thỏa mãn điều kiện đề bài là $m=3\vee 1<m<\frac{5}{2}$
Vậy $S=\left\{2;3\right\}$.

Chọn đáp án B