Giả sử z1, z2 là hai trong các số phức thỏa mãn (z-6)(8+zi) là số thực

Giả sử $z=x+yi$, $x,y\in ℝ$.Gọi $A,B$ lần lượt là điểm biểu diễn cho các số phức $z_1,z_2$ . Suy ra $AB=\left|z_1-z_2\right|=4$.
* Ta có $\left(z-6\right)\left(8+\overline{zi}\right)=\left[\left(x-6\right)+yi\right].\left[\left(8-y\right)-xi\right]=\left(8x+6y-48\right)-\left(x^2+y^2-6x-8y\right)i$. Theo giả thiết $\left(z-6\right)\left(8+\overline{zi}\right)$ là số thực nên ta suy ra $x^2+y^2-6x-8y=0$. Tức là các điểm $A,B$ thuộc đường tròn $\left(C\right)$ tâm $I\left(3;4\right)$, bán kính $R=5$.
* Xét điểm M thuộc đoạn AB thỏa $\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{0}\iff \overrightarrow{OA}+3\overrightarrow{OB}=4\overrightarrow{OM}$.
Gọi H là trung điểm AB.
Ta có $HA=HB=\frac{AB}{2}=2$ và $MA=\frac{3}{4}AB=3\Rightarrow HM=MA-HA=1$.
Từ đó $H{I}^2=R^2-H{B}^2=21$, $IM=\sqrt{H{I}^2+H{M}^2}=\sqrt{22}$, suy ra điểm M thuộc đường tròn $\left(C^{\text{'}}\right)$ tâm $I\left(3;4\right)$ , bán kính $r=\sqrt{22}$.
* Ta có $\left|z_1+3z_2\right|=\left|\overrightarrow{OA}+3\overrightarrow{OB}\right|=\left|4\overrightarrow{OM}\right|=4OM$, do đó $\left|z_1+3z_2\right|$ nhỏ nhất khi OM nhỏ nhất.
Ta có $O{M}_{\min }=O{M}_0=\left|OI-r\right|=5-\sqrt{22}$.
Vậy ${\left|z_1+3z_2\right|}_{\min }=4O{M}_0=20-4\sqrt{22}$.

Chọn đáp án B