Hàm số fx liên tục trên 0;π và : f(π−x)=f(x) ∀x∈[0;π] , ∫0πf(x)dx=π2 . Tính I=∫0πx.f(x)dx

* Hướng dẫn giải

 Đặt  $t=\pi -x\Rightarrow dt=-dx.$

$x=0\Rightarrow t=\pi ,x=\pi \Rightarrow t=0$

$I=-\underset{\pi }{\overset{0}{\int }}(\pi -t)f(\pi -t)dt$

$=\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}(\pi -t)f\left(t\right)dt$

$=\pi \underset{0}{\overset{\pi }{\int }}f\left(x\right)dx-\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}xf\left(x\right)dx$

$\Rightarrow I=\pi .\frac{\pi }{2}-I\Rightarrow I=\frac{{\pi }^2}{4}.$

Chọn D.