Cho hình lăng trụ đứng ABCA’B’C’, biết đáy ABC là tam giác đều cạnh a.

Gọi M là trung điểm của BC.

Ta có $\left(A^{\text{'}}AM\right)\perp \left(A^{\text{'}}BC\right)$ theo giao tuyến $A\text{'}M$.

Trong $\left(A^{\text{'}}AM\right)$ kẻ $OH\perp A^{\text{'}}M\left(H\in M\right)\Rightarrow OH\perp \left(A^{\text{'}}BC\right)$.

Suy ra: $d\left(O,\left(A^{\text{'}}BC\right)\right)=OH=\frac{a}{6};S_{\Delta ABC}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.

Ta có: $\Delta A^{\text{'}}AM\Delta \text{OHM}$, suy ra $\frac{OH}{A^{\text{'}}A}=\frac{OM}{A^{\text{'}}M}\Rightarrow \frac{\frac{a}{6}}{A^{\text{'}}A}=\frac{\frac{1}{3}.\frac{a\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{A^{\text{'}}{A}^2+A{M}^2}}$

$\Rightarrow \frac{1}{A^{\text{'}}A}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{A^{\text{'}}{A}^2+{\left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)}^2}}\Rightarrow A^{\text{'}}A=\frac{a\sqrt{6}}{4}$.

Thể tích $V_{ABC.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}=S_{\Delta ABC}.A^{\text{'}}A=\frac{a\sqrt{6}}{4}.\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=\frac{3{\text{a}}^3\sqrt{2}}{16}$.