Cho hai số phức z, w thỏa mãn |z+2w|=3;|2z+3w|=6 và|z+4w|=7 . Tính giá trị của biểu thức .

Ta có: $\left|z+2w\right|=3\iff {\left|z+2\text{w}\right|}^2=9\iff \left(z+2w\right).\left(\overline{z+2w}\right)=9\iff \left(z+2w\right)\left(\overline{z}+2\overline{\text{w}}\right)=9$

$\iff z.\overline{z}+2\left(z.\overline{\text{w}}+\overline{z}.\text{w}\right)+4w.\overline{\text{w}}=9\iff {\left|z\right|}^2+2P+4{\left|\text{w}\right|}^2=9$ (1).

Tương tự:

$\left|2\text{z}+3w\right|=6\iff {\left|2\text{z}+3w\right|}^2=36\iff \left(2\text{z}+3w\right)\left(2\overline{z}+3\overline{\text{w}}\right)=36\iff 4{\left|z\right|}^2+6P+9{\left|\text{w}\right|}^2=36$ (2).

$\left|z+4w\right|=7\iff \left(z+4w\right)\left(\overline{z}+4\overline{\text{w}}\right)=49\iff {\left|z\right|}^2+4P+16{\left|\text{w}\right|}^2=49$ (3).

Giải hệ phương trình gồm (1), (2), (3) ta có: $\left\{\begin{array}{l}{\left|z\right|}^2=33\\ P=-28\\ {\left|\text{w}\right|}^2=8\end{array}\right.\Rightarrow P=-28$.