Cho m=alog căn bậc hai ab với a,b>1 và . Khi đó giá trị của m để P đạt giá trị nhỏ nhất là

Ta có $P=1010{\log }_a^{2}b+2020{\log }_{b}a=1010{\log }_a^{2}b+\frac{2020}{{\log }_{a}b}$.

Đặt $t={\log }_{a}b$. Khi đó $P=1010t^2+\frac{2020}{t}$.

Vì $a,b>1$ nên $t={\log }_{a}b>0$. Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:

$P=1010t^2+\frac{2020}{t}=1010t^2+\frac{1010}{t}+\frac{1010}{t}\ge 3\sqrt[3]{{1010}^3}=3030$.

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $1010t^2=\frac{1010}{t}\Rightarrow t=1$.

Ta có $m={\log }_a\sqrt{ab}=\frac{1}{2}{\log }_a\left(ab\right)=\frac{1}{2}\left(1+{\log }_{a}b\right)=\frac{1}{2}\left(1+t\right)=\frac{1}{2}\left(1+1\right)=1$.