Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi parabol y=x^2, cung tròny=căn bậc hai 2x-x^2 và trục hoành (phần tô đậm trong hình vẽ).

Phương trình hoành độ giao điểm giữa parabol và cung tròn: $x^2=\sqrt{2\text{x}-x^2}\iff \left[\begin{array}{l}x=1\\ x=0\end{array}\right.$.

Khi đó: $S=\underset{0}{\overset{1}{\int }}{x}^{2}d\text{x}+\underset{1}{\overset{2}{\int }}\sqrt{2\text{x}-x^2}d\text{x}=\frac{1}{3}+\underset{1}{\overset{2}{\int }}\sqrt{1-{\left(x-1\right)}^2}d\text{x}$.

Đặt $x-1=\sin t,t\in \left[-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right]\Rightarrow d\text{x}=\cos tdt$.

Đổi cận: $x=1\Rightarrow t=0;x=2\Rightarrow t=\frac{\pi }{2}$.

Suy ra $S=\frac{1}{3}+\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}{\cos }^{2}tdt=\frac{1}{3}+\frac{1}{2}\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}\left(1+\cos 2t\right)dt={\left.\frac{1}{3}+\frac{1}{2}\left(t+\frac{1}{2}\sin 2t\right)\right|}_0^{\frac{\pi }{2}}=\frac{1}{3}+\frac{\pi }{4}$.