Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABC là tam giác vuông tại A, . Hình chiếu của điểm S trên mặt phẳng

Gọi H là trung điểm của BC, M là trung điểm của AC, P là trung điểm của AB, kẻ .

Ta có $\left(SAB\right)\cap \left(SAC\right)=SA$, kẻ $BE\perp \text{S}A$ và $GH\text{ // BE}$, suy ra

$\widehat{\left(\left(SAC\right),\left(SAB\right)\right)}=\widehat{\left(GH,\left(SAC\right)\right)}=\widehat{HGI}=60°$.

$SH=h$Đặt $SA=\sqrt{h^2+\frac{7{\text{a}}^2}{4}}$, ta tính được $SP=\sqrt{h^2+\frac{5{\text{a}}^2}{4}}$ và $BE=\frac{2{\text{S}}_{SAB}}{SA}=\frac{a\sqrt{2}.\sqrt{h^2+\frac{5{\text{a}}^2}{4}}}{\sqrt{h^2+\frac{7{\text{a}}^2}{4}}}$.

Vậy $HI=\sqrt{\frac{M{H}^2.S{H}^2}{M{H}^2+S{H}^2}}=\frac{\frac{a\sqrt{2}}{2}h}{\sqrt{h^2+\frac{a^2}{2}}}$

Tam giác GIH vuông tại I có

$\frac{IH}{HG}=\sin 60°\Rightarrow \frac{\sqrt{3}}{2}.\frac{\frac{a\sqrt{2}}{2}\sqrt{h^2+\frac{5{\text{a}}^2}{4}}}{\sqrt{h^2+\frac{7{\text{a}}^2}{4}}}=\frac{h\frac{a\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{h^2+\frac{a^2}{4}}}\Rightarrow h^4+\frac{7{\text{a}}^2}{4}{h}^2-\frac{15{\text{a}}^4}{8}=0\Rightarrow h=\frac{2a\sqrt{3}}{4}$.

Vậy $V_{SABC}=\frac{1}{6}AB.AC.SH=\frac{a^3\sqrt{30}}{12}$.