Cho hình lăng trụ ABCA'B'C' có thể tích bằng V. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh

Gọi I là trung điểm $AC\Rightarrow NP\cap BI=\left\{J\right\}$.

Lại có $BP=\frac{1}{2}NI$ và $BN\text{ // IP}$ suy ra BN là đường trung bình tam giác PIJ. Suy ra B là trung điểm IJ.

Suy ra $CM\cap BI=\left\{G\right\}$ là trọng tâm tam giác ABC.

Ta có: $\frac{S_{JCM}}{S_{BCM}}=\frac{JG}{BG}$ mà $JG=BJ+BG=BI+\frac{2}{3}BI=\frac{5}{3}BI$

$\Rightarrow \frac{S_{JCM}}{S_{BCM}}=\frac{\frac{5}{3}BI}{\frac{2}{3}BI}=\frac{5}{2}\Rightarrow S_{JCM}=\frac{5}{2}{S}_{BCM}\Rightarrow S_{JCM}=\frac{5}{4}.S_{ABC}$.

Ta có $V_1=V_{P.MJC}=\frac{1}{3}h{\text{S}}_{JMC}=\frac{5}{12}V;{\text{ V}}_2=V_{N.MJC}=\frac{1}{3}.\frac{1}{2}h{\text{S}}_{JMC}=\frac{1}{3}.h.\frac{5}{8}{S}_{ABC}=\frac{5}{24}V$.

Vậy $V_{P.CMN}=V_1-V_2=\frac{5}{24}V$.