Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu và mặt phẳng (S);(X-1)^2+(Y-2)^2+(Z-)^2 .

Mặt cầu (S) có tâm $I\left(1;2;3\right),R=3$.

Ta có: $d\left(I,\left(P\right)\right)=\frac{\left|2.1-2.2+3+3\right|}{\sqrt{2^2+{\left(-2\right)}^2+1^2}}=\frac{4}{3}<R$ nên mặt phẳng cắt mặt cầu theo một đường tròn.

Gọi $M\left(a;b;c\right)$ là điểm trên mặt cầu sao cho khoảng cách từ M đến (P) lớn nhất thì điểm M thuộc đường thẳng$∆$ đi qua điểm I và vuông góc với(P).

Phương trình $\Delta :\left\{\begin{array}{l}x=1+2t\\ y=2-2t\\ z=3+t\end{array}\right.$. Thay vào mặt cầu (S) ta có: ${\left(2t\right)}^2+{\left(-2t\right)}^2+{\left(t\right)}^2=9\Rightarrow 9t^2=9\Rightarrow t=\pm 1$.

Với t=1 ta có: $M\left(3;0;4\right)\Rightarrow d\left(M,\left(P\right)\right)=\frac{\left|2.3-2.0+4+3\right|}{\sqrt{2^2+{\left(-2\right)}^2+1^2}}=\frac{13}{3}$.

Với t=-1 ta có: $M\left(-1;4;2\right)\Rightarrow d\left(M,\left(P\right)\right)=\frac{\left|2.\left(-1\right)-2.4+2+3\right|}{\sqrt{2^2+{\left(-2\right)}^2+1^2}}=\frac{5}{3}$.

Vậy $M\left(3;0;4\right)$ nên a+b+c=7.