Giá trị nhỏ nhất của P=z^2+b^2 để hàm số f(x)=x^4+ax^3+bx^2+ax+1có đồ thị cắt trục hoành là

Xét phương trình: $x^4+a{x}^3+b{x}^2+ax+1=0\Rightarrow {\left(x+\frac{1}{x}\right)}^2+a\left(x+\frac{1}{x}\right)+b-2=0\left(x\ne 0\right)$.

Đặt $t=x+\frac{1}{x}\left(\left|t\right|\ge 2\right)\Rightarrow t^2+at+b-2=0$ (*)

Xét đường thẳng $\Delta :t\text{x}+y+t^2-2=0\left(\left|t\right|\ge 2\right)$ và đường tròn $\left(C\right):x^2+y^2=P$ có tâm O(0;0), bán kính $R=\sqrt{P}$.

Để (*) có nghiệm thì Δ và ( C) tiếp xúc hoặc cắt nhau:

$\iff d_{\left(O,\Delta \right)}\le R\iff \frac{\left|t^2-2\right|}{\sqrt{t^2+1}}\le \sqrt{P}\Rightarrow P\ge \frac{{\left(t^2-2\right)}^2}{t^2+1}\left(\left|t\right|\ge 2\right);\frac{{\left(t^2-2\right)}^2}{t^2+1}=\frac{{\left(u-3\right)}^2}{u}\left(u=t^2+1\ge 5\right)$.

Xét$f\left(u\right)=\frac{{\left(u-3\right)}^2}{u},u\ge 5\Rightarrow f\left(u\right)\ge \frac{4}{5}\Rightarrow P\ge \frac{4}{5}$ khi $u=5\Rightarrow x+\frac{1}{x}=\pm 2$.