Gọi m0 là số nguyên để phương trình log3(x^2/2020-m), có hai nghiệm phân biệt

* Hướng dẫn giải

Điều kiện: $\left\{\begin{array}{l}x\ne 0\\ m<2020\end{array}\right.$.

Phương trình có dạng: ${\log }_3{\left|x\right|}^2+{\left|x\right|}^3={\log }_3\left(2020-m\right)+\left|x\right|\left(2020-m\right)$

$\iff {\log }_3\left|x\right|+{\log }_3{\left|x\right|}^2+{\left|x\right|}^3={\log }_3\left|x\right|+{\log }_3\left(2020-m\right)+\left|x\right|\left(2020-m\right)$

$\iff {\log }_3{\left|x\right|}^3+{\left|x\right|}^3={\log }_3\left(\left|x\right|\left(2020-m\right)\right)+\left|x\right|\left(2020-m\right)$ (1).

Xét hàm số: $f\left(t\right)=t+{\log }_{3}t$ trên $D=\left(0;+\infty \right)$.

Vì $f^{\text{'}}\left(t\right)=1+\frac{1}{t\ln 3}>\mathrm{0,}\forall t\in \text{D}$ nên hàm số f(x) đồng biến trên D.

Từ phương trình (1) $\iff f\left({\left|x\right|}^3\right)=f\left(\left|x\right|\left(2020-m\right)\right)$

$\iff {\left|x\right|}^3=\left|x\right|\left(2020-m\right)\Rightarrow {\left|x\right|}^2=2020-m\iff \left[\begin{array}{l}x=\sqrt{2020-m}\\ x=-\sqrt{2020-m}\end{array}\right.\left(m<2020\right)$ (2).

Mà $x_1^{2020}+x_2^{2020}=2^{1011}\iff 2{\left(2020-m\right)}^{1010}=2^{1011}\Rightarrow \left(2020-m\right)=2\iff m=2018$.

Khi đó $\left\{\begin{array}{l}{x}_1=\sqrt{2}\\ x_2=-\sqrt{2}\end{array}\right.$.

Vậy $P=\ln \left(x_1+\sqrt{x_2^2+2}\right)+\ln \left(x_2+\sqrt{x_1^2+2}\right)=\ln \left(\sqrt{2}+2\right)+\ln \left(-\sqrt{2}+2\right)=\ln 2\approx \mathrm{0,693}$.