Cho hàm số bậc ba f=f(x)có đồ thị như hình vẽ. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình

* Hướng dẫn giải

Xét phương trình: $\left|f\left(x^3-3\text{x}\right)\right|=\frac{m+1}{10-m}$ (1).

Đặt $t=x^3-3\text{x}$, ta có: $t^{\text{'}}=3{\text{x}}^2-\mathrm{3,}{t}^{\text{'}}=0\iff x=\pm 1$.

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta có:

Ứng với mỗi giá trị t > 2 hoặc t< -2 thì phương trình $x^3-3\text{x}=t$ có một nghiệm x duy nhất.

Ứng với mỗi giá trị t = 2 hoặc t=-2 thì phương trình $x^3-3\text{x}=t$ có 2 nghiệm x.

Ứng với mỗi giá trị -2<t<2 thì phương trình $$$x^3-3\text{x}=t$ có 3 nghiệm x.

Phương trình (1) trở thành $\left|f\left(t\right)\right|=\frac{m+1}{10-m}$ với .

Từ đồ thị hàm số y=f(x) ban đầu, ta suy ra bảng biến thiên của hàm số y=|f(t)| như sau:

(trong đó f(a) >1),

Từ bảng biến thiên của hàm số y=|f(t)|  để phương trình $\left|f\left(x^3-3\text{x}\right)\right|-\frac{m+1}{10-m}=0$ có 10 nghiệm phân biệt thì phương trình $\left|f\left(t\right)\right|=\frac{m+1}{10-m}$ có 6 nghiệm thỏa mãn $t_1<-2<t_2<t_3<2<t_4<t_5<t_6$.

Hay $0<\frac{m+1}{10-m}<1\iff -1<m<\frac{9}{2}$. Do $m\in \mathbb{Z}$ nên $m\in \left\{0;1;2;3;4\right\}$.