Cho hình chóp S.ABCDcó đáy là hình thoi, tam giác SABđều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng ABCD.Biết AC=2a, BD=4a.Tính theo akhoảng cách giữa hai đường thẳng ADvà SC

Gọi $O=AC\cap BD,H$ là trung điểm  của $AB$ suy ra $SH\perp AB.$

Do $AB=\left(SAB\right)\cap \left(ABCD\right)$ và $\left(SAB\right)\perp \left(ABCD\right)$  nên $SH\perp \left(ABCD\right)$

Ta có: $OA=\frac{AC}{2}=\frac{2a}{2}=a$

$\begin{array}{l}OB=\frac{BD}{2}=\frac{4a}{2}=2a\\ \Rightarrow Ab=\sqrt{O{A}^2+O{B}^2}=\sqrt{a^2+4a^2}=a\sqrt{5}\end{array}$

$SH=\frac{AB\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{15}}{2};S_{ABCD}=\frac{1}{2}AC.BD=\frac{1}{2}2a.4a=4a^2$

Thể tích khối chóp $S.ABCD$ là

$V_{S.ABCD}=\frac{1}{3}SH.S_{ABCD}=\frac{1}{3}\frac{a\sqrt{15}}{2}4a^2=\frac{2a^3\sqrt{15}}{3}$

Ta có: $BC//AD\Rightarrow AD//\left(SBC\right)\Rightarrow d\left(AD,SC\right)=d\left(AD;\left(SBC\right)\right)=d\left(A;\left(SBC\right)\right)$

Do $H$ là trung điểm của $AB$ và $B=AH\cap \left(SCB\right)\Rightarrow d\left(A;\left(SBC\right)\right)=2d\left(H;\left(SBC\right)\right)$

Kẻ $HE\perp BC,H\in BC.$  Do $SH\perp BC\Rightarrow BC\perp \left(SHE\right).$

Kẻ $HK\perp SE,K\in SE,$  ta có $BC\perp HK\Rightarrow HK\perp \left(SBC\right)\Rightarrow HK=d\left(H;\left(SBC\right)\right)$

$HE=\frac{2S_{BCH}}{BC}=\frac{S_{ABC}}{BC}=\frac{S_{ABCD}}{2BC}=\frac{4a^2}{2a\sqrt{5}}=\frac{2a\sqrt{5}}{5}$

$\frac{1}{H{K}^2}=\frac{1}{H{E}^2}+\frac{1}{S{H}^2}=\frac{5}{4a^2}+\frac{4}{15a^2}=\frac{91}{60a^2}\Rightarrow HK=\frac{2a\sqrt{15}}{\sqrt{91}}=\frac{2a\sqrt{1365}}{91}$

Vậy $d\left(AD,SC\right)=2HK=\frac{4a\sqrt{1365}}{91}.$