Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [0;1] thỏa mãn

Đáp án B

Ta có $\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left[f\text{'}\left(x\right)\right]}^{2}dx=9\left(1\right)$

Xét$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{x}^{3}f\left(x\right)dx=\frac{1}{2}$. Đặt $\left\{\begin{array}{l}u=f\left(x\right)\\ dv=x^{3}dx\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}du=f\text{'}\left(x\right)dx\\ v=\frac{x^4}{4}\end{array}\right.$

$\Rightarrow \frac{1}{2}\underset{0}{\overset{1}{\int }}{x}^{3}f\left(x\right)dx={\left.\left(\frac{x^4}{4}f\left(x\right)\right)\right|}_0^1-\frac{1}{4}\underset{0}{\overset{1}{\int }}{x}^{4}f\text{'}\left(x\right)dx=\frac{1}{4}-\frac{1}{4}\underset{0}{\overset{1}{\int }}{x}^{4}f\text{'}\left(x\right)dx$

$\Rightarrow \underset{0}{\overset{1}{\int }}{x}^{4}f\text{'}\left(x\right)dx=-1\Rightarrow 18\underset{0}{\overset{1}{\int }}{x}^{4}f\text{'}\left(x\right)dx=-18\left(2\right)$

Lại có $\underset{0}{\overset{1}{\int }}{x}^{8}dx={\left.\frac{x^9}{9}\right|}_0^1=\frac{1}{9}\Rightarrow 81\underset{0}{\overset{1}{\int }}{x}^{8}dx=9\left(3\right)$

Cộng vế với vế các đẳng thức (1), (2), (3) ta được

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left[{\left[f\text{'}\left(x\right)\right]}^2+18x^{4}f\text{'}\left(x\right)+81x^8\right]dx=0\iff \underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left[f\text{'}\left(x\right)+9x^4\right]}^{2}dx=0\iff \pi .\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left[f\text{'}\left(x\right)+9x^4\right]}^{2}dx=0$

Hay thể tích khối tròn xoay sinh bởi hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f\text{'}\left(x\right)+9x^4$, trục hoành Ox, các đường thẳng $x=\mathrm{0,}x=1$ khi quay quanh Ox bằng 0, suy ra:

$f\text{'}\left(x\right)+9x^4=0\iff f\text{'}\left(x\right)=-9x^4\Rightarrow f\left(x\right)=\int f\text{'}\left(x\right)dx=-\frac{9}{5}{x}^4+C$

Lại do $f\left(1\right)=1\Rightarrow C=\frac{14}{5}\Rightarrow f\left(x\right)=-\frac{9}{5}{x}^5=\frac{14}{5}$

$\Rightarrow \underset{0}{\overset{1}{\int }}f\left(x\right)dx=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left(-\frac{9}{5}{x}^5+\frac{14}{4}\right)dx={\left.\left(-\frac{3}{10}{x}^6+\frac{14}{5}x\right)\right|}_0^1=\frac{5}{2}$