Cho hàm số fx có fπ2=−1 và f'x=sinx+sin3x2sin4x.cosx,∀x∈π6;5π6 . Khi đó ∫π43π4fxdx bằng

Chọn C

Ta có $f\text{'}\left(x\right)=\frac{\sin x+\sin 3x}{2{\sin }^{4}x.\cos x},\forall x\in \left(\frac{\pi }{6};\frac{5\pi }{6}\right)$  nên $f\left(x\right)$  là một nguyên hàm của $f\text{'}\left(x\right)$

$\int f^{\text{'}}\left(x\right)\text{d}x=\int \frac{\sin x+\sin 3x}{2{\sin }^{4}x.\cos x}\text{d}x=\int \frac{2\sin 2x.\cos x}{2{\sin }^{4}x.\cos x}\text{d}x=\int \frac{2\sin x.\cos x}{{\sin }^{4}x}\text{d}x=\int \frac{2\cos x}{{\sin }^{3}x}\text{d}x$$=\int \frac{2}{{\sin }^{3}x}\text{d}\left(\sin x\right)=\frac{-1}{{\sin }^{2}x}+C$

Do đó $f\left(x\right)=-\frac{1}{{\sin }^{2}x}+C$  mà $f\left(\frac{\pi }{2}\right)=-1\Rightarrow C=0$  khi đó $f\left(x\right)=-\frac{1}{{\sin }^{2}x}$