Biết rằng parabol P:y2=2x chia đường tròn C:x2+y2=8 thành hai phần lần lượt có diện tích là S1 ,S2 (như hình vẽ). Khi đó S2−S1=aπ−bc với a,b,c nguyên dương vàbc là phân số tối giản...

Xét hệ  $\left\{\begin{array}{l}{x}^2+y^2=8\\ y^2=2x\end{array}\right.$$\iff \left\{\begin{array}{l}{x}^2+2x-8=0\\ y^2=2x\end{array}\right.$$\iff \left\{\begin{array}{l}x=-4\vee x=2\\ y^2=2x\end{array}\right.$$\iff \left\{\begin{array}{l}x=2\\ y^2=4\end{array}\right.$

$S_1=2\underset{0}{\overset{2}{\int }}\sqrt{2x}\text{d}x+2\underset{2}{\overset{2\sqrt{2}}{\int }}\sqrt{8-x^2}\text{d}x$

$I_1=2\underset{0}{\overset{2}{\int }}\sqrt{2x}\text{d}x={\left.\left(2.\sqrt{2}.\frac{2}{3}\sqrt{x^3}\right)\right|}_0^2=\frac{16}{3}$

$I_2=2\underset{2}{\overset{2\sqrt{2}}{\int }}\sqrt{8-x^2}\text{d}x$     .

Đặt $x=2\sqrt{2}\cos t$$\Rightarrow \text{d}x=-2\sqrt{2}\sin t\text{d}t$

$x=2\Rightarrow t=\frac{\pi }{4}$,$x=2\sqrt{2}\Rightarrow t=0$ .

      .

$$$I_2=2\underset{\frac{\pi }{4}}{\overset{0}{\int }}\sqrt{8-8{\cos }^{2}t}\left(-2\sqrt{2}\sin t\text{d}t\right)$$=16\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{4}}{\int }}{\sin }^{2}t\text{d}t$$=8\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{4}}{\int }}\left(1-\cos 2t\right)\text{d}t$$=8{\left.\left(t-\frac{1}{2}\sin 2t\right)\right|}_0^{\frac{\pi }{4}}$$=2\pi -4$.

$\Rightarrow S_1=I_1+I_2=2\pi +\frac{4}{3}$

.

$\Rightarrow S_2-S_1=4\pi -\frac{8}{3}$.

Vậy $a=4$ ,b$=8$ ,$c=3$  $\Rightarrow S=a+b+c=15$.