Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để tồn tại cặp số x;y thỏa mãn e3x+5y−ex+3y+1=1−2x−2y , đồng thời thỏa mãn log323x+2y−1−m+6log3x+m2+9=0 .

Chọn B

Ta có: ${\text{e}}^{3x+5y}-{\text{e}}^{x+3y+1}=1-2x-2y$$\iff {\text{e}}^{3x+5y}+\left(3x+5y\right)={\text{e}}^{x+3y+1}+\left(x+3y+1\right)$ .

Xét hàm số $f\left(t\right)={\text{e}}^t+t$  trên $\mathrm{ℝ}$ . Ta có $f^{\text{'}}\left(t\right)={\text{e}}^t+1>0$  nên hàm số đồng biến trên $\mathrm{ℝ}$ .

Do đó phương trình có dạng: $f\left(3x+5y\right)=f\left(x+3y+1\right)$$\iff 3x+5y=x+3y+1$$\iff 2y=1-2x$ .

Thế vào phương trình còn lại ta được: ${\log }_3^{2}x-\left(m+6\right){\log }_{3}x+m^2+9=0$ .

Đặt $t={\log }_{3}x$ , phương trình có dạng: $t^2-\left(m+6\right)t+m^2+9=0$ .

Để phương trình có nghiệm thì $\Delta \ge 0\iff$$-3m^2+12m\ge 0$$\iff 0\le m\le 4$ .

Do đó có $5$  số nguyên $m$  thỏa mãn.