Cho Parabol P:y=x2 và hai điểm A,B thuộc P sao cho AB=2 . Diện tích hình phẳng giới hạn bởi P và đường thẳng AB đạt giá trị lớn nhất bằng?

* Hướng dẫn giải

Chọn C

Cách 1: Gọi $A\left(a;a^2\right)$ ,$B\left(b;b^2\right)$  với $a<b$ . Ta có $AB=2$$\iff {\left(b-a\right)}^2+{\left(b^2-a^2\right)}^2=4$

$AB:\frac{x-a}{b-a}=\frac{y-a^2}{b^2-a^2}$$\iff \frac{x-a}{1}=\frac{y-a^2}{b+a}$$\iff y=\left(a+b\right)\left(x-a\right)+a^2$$\iff y=\left(a+b\right)x-ab$

.$S=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\left(\left(a+b\right)x-ab-x^2\right)dx$$=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\left(x-a\right)\left(b-x\right)dx$

Đặt $t=x-a$ . Suy ra $S=\underset{0}{\overset{b-a}{\int }}t\left(b-a-t\right)dt$$=\underset{0}{\overset{b-a}{\int }}\left(t\left(b-a\right)-t^2\right)dt$$={\left.\frac{\left(b-a\right)t^2}{2}\right|}_0^{b-a}-{\left.\frac{t^3}{3}\right|}_0^{b-a}$$=\frac{{\left(b-a\right)}^3}{6}$

Ta có ${\left(b-a\right)}^2+{\left(b^2-a^2\right)}^2=4$$\iff {\left(b-a\right)}^2\left(1+{\left(b+a\right)}^2\right)=4$$\iff {\left(b-a\right)}^2=\frac{4}{1+{\left(b+a\right)}^2}\le 4$

Suy ra $b-a\le 2$$\Rightarrow S=\frac{{\left(b-a\right)}^3}{6}\le \frac{2^3}{6}=\frac{4}{3}$

Dấu bằng xảy ra khi $\left\{\begin{array}{l}a+b=0\\ b-a=2\end{array}\right.$$\iff \left\{\begin{array}{l}b=1\\ a=-1\end{array}\right.$$\iff A\left(-1;1\right),B\left(1;1\right)$ .