Cho mặt cầuS:x+12+y−42+z2=8 và các điểm A3;0;0 , B4;2;1 . Gọi M là một điểm bất kỳ thuộc mặt cầu (S) . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức MA+2MB ?

Mặt cầu $\left(S\right)$  có tâm $I\left(-1;4;0\right)$ , bán kính $R=2\sqrt{2}$ .

$IA=4\sqrt{2}$$=2\text{}R$$=2IM$; $IB=\sqrt{30}>R$$\Rightarrow B$    nằm ngoài mặt cầu $\left(S\right)$ .

Lấy điểm $K$  thuộc tia $IA$ sao cho$\overrightarrow{IK}=\frac{1}{4}\overrightarrow{IA}$$\Rightarrow K\left(0;3;0\right)$ .

 $\Rightarrow IK=\frac{1}{2}R$$=\frac{1}{2}IM$$\Rightarrow K$  nằm trong mặt cầu $\left(S\right)$

Lại có:$\Delta IAM~\Delta IMK\left(c.g.c\right)$$\Rightarrow \frac{MA}{KM}=\frac{IA}{IM}$$=2$$\iff MA=2MK$   .

Suy ra: $MA+2MB=2MK+2MB$$\ge 2BK$$=6\sqrt{2}$ .

Dấu đẳng thức xảy ra $\iff M=BK\cap \left(S\right)$  và $M$  nằm giữa $B,K$ .

Vậy ${\left(MA+2MB\right)}_{\min }=6\sqrt{2}$ .