Cho 0 nhỏ hơn bằng x nhỏ hơn bằng 2020 và log2(2x+2)+x-3y=8^y .

Do $0\le x\le 2020$ nên ${\log }_2(2x+2)$ luôn có nghĩa .
Ta có ${\log }_2(2x+2)+x-3y=8^y$
$\iff {\log }_2(x+1)+x+1=3y+2^{3y}$
$\iff {\log }_2(x+1)+2^{{\log }_2(x+1)}=3y+2^{3y} \left(1\right)$

$\iff {\log }_2(x+1)+2^{{\log }_2(x+1)}=3y+2^{3y}$
Xét hàm số $f\left(t\right)=t+2^t$.
Tập xác định $D=ℝ$ và $f^{\text{'}}\left(t\right)=1+2^t\ln 2\Rightarrow f^{\text{'}}\left(t\right)>0\forall t\in ℝ$.
Suy ra hàm số $f\left(t\right)$ đồng biến trên R . Do đó $\left(1\right)\iff {\log }_2(x+1)=3y\iff y={\log }_8(x+1)$.
Ta có $0\le x\le 2020$ nên $1\le x+1\le 2021$ suy ra $0\le {\log }_8(x+1)\le {\log }_{8}2021\iff 0\le y\le {\log }_{8}2021$.
Vì $y\in \mathbb{Z}$ nên $y\in \left\{0;1;2;\left.3\right\}\right.$.
Vậy có 4 cặp số $(x;y)$ nguyên thỏa yêu cầu bài toán là các cặp $(0;0), (7;1), (63;2), (511;3)$.

Chọn đáp án D