Cho parabol (P) y=x^2 và một đường thẳng d thay đổi cắt (P) tại hai điểm

Giả sử $A(a;a^2)$; $B(b;b^2)(b>a)$ sao cho $AB=2018$.
Phương trình đường thẳng d là: $y=(a+b)x-ab$. Khi đó
$S=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\left|(a+b)x-ab-x^2\right|\text{d}x=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\left(\left(a+b\right)x-ab-x^2\right)\text{d}x=\frac{1}{6}{\left(b-a\right)}^3$.
Vì $AB=2018\iff {\left(b-a\right)}^2+{\left(b^2-a^2\right)}^2={2018}^2\iff {\left(b-a\right)}^2\left(1+{\left(b+a\right)}^2\right)={2018}^2$.
$\Rightarrow {\left(b-a\right)}^2\le {2018}^2\Rightarrow \left|b-a\right|=b-a\le 2018\Rightarrow S\le \frac{{2018}^3}{6}$. Vậy $S_{\max }=\frac{{2018}^3}{6}$ khi $a=-1009$ và $b=1009$.

Chọn đáp án D