Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên R và có đồ thị hàm số như hình vẽ bên dưới

Giải chi tiết:

Dựa vào đồ thị hàm số $y=f^{\text{'}}\left(x\right)$ ta có:

Hàm số $y=f\left(x\right)$ đồng biến trên $(0;+\infty )$ và nghịch biến trên $(-\infty ;0).$

Hàm số $y=f\left(x\right)$ đạt cực đại tại $x=1$ và đạt cực tiểu tại $x=0.$

Xét hàm số: $g\left(x\right)=f(x^2-3)$ ta có: $g^{\text{'}}\left(x\right)={(x^2-3)}^{\text{'}}{f}^{\text{'}}(x^2-3)$ $=2x{f}^{\text{'}}(x^2-3)$

$\Rightarrow g^{\text{'}}\left(x\right)=0\iff 2x{f}^{\text{'}}(x^2-3)=0$

$\iff [\begin{array}{l}x=0\\ f^{\text{'}}(x^2-3)=0\end{array}\iff [\begin{array}{l}x=0\\ x^2-3=-2\\ x^2-3=1\end{array}$

$\iff [\begin{array}{l}x=0\\ x^2=1\\ x^2=4\end{array}\iff [\begin{array}{l}x=0\\ x=\pm 1\\ x=\pm 2\end{array}$

Với $x=3$ ta có: $g^{\text{'}}\left(x\right)=6f^{\text{'}}\left(6\right)>0$

Ta có BBT:

Dựa vào BBT ta thấy:

Hàm số $y=g\left(x\right)$ có 5 điểm cực trị ⇒I  sai.

Hàm số $g\left(x\right)$ đạt cực tiểu tại $x=0$ ⇒II đúng.

Hàm số $g\left(x\right)$ đạt cực tiểu tại $x=2$ ⇒III sai.

Hàm số $g\left(x\right)$ nghịch biến trên $(-2;-1)$ nghịch biến trên $(-1;0)$ và đồng biến trên $(0;1)$ ⇒IV sai.

Hàm số $g\left(x\right)$ nghịch biến trên $(-1;0)$ và đồng biến trên $(0;1)\Rightarrow V$ sai.

Vậy chỉ có 1 mệnh đề đúng trong các mệnh đề trên.