Cho hình chóp SABCD có đáy là hình vuông cạnh a,SA vuông góc (ABCD) và SA=a. Gọi G là trọng tâm tam giác

Gọi O là giao điểm của AC và BD

Khi đó: $AG=\frac{2}{3}AO$ (tính chất trọng tâm tam giác)

$\Rightarrow \frac{AG}{AC}=\frac{\frac{2}{3}AO}{AC}=\frac{2}{3}.\frac{1}{2}=\frac{1}{3}\Rightarrow \frac{GC}{AC}=\frac{2}{3}$

$\Rightarrow \frac{d(G;\left(SBC\right))}{d(A;\left(SBC\right))}=\frac{2}{3}$

Kẻ $AH\perp SB$

Ta có: $SA\perp \left(ABCD\right)\Rightarrow SA\perp BC$

Lại có: $BC\perp AB$

$\Rightarrow BC\perp \left(SAB\right)\Rightarrow BC\perp AH$

$\Rightarrow AH\perp \left(SBC\right)\Rightarrow AH=d(A;\left(SBC\right))$

$\Rightarrow d(G;\left(SBC\right))=\frac{2}{3}AH.$

Áp dụng hệ thức lượng cho $\Delta SAB$ vuông tại A, có đường cao $AH$ ta có:

$AH=\frac{SA.AB}{\sqrt{S{A}^2+A{B}^2}}=\frac{a^2}{\sqrt{a^2+a^2}}=\frac{a\sqrt{2}}{2}.$

$\Rightarrow d(G;\left(SBC\right))=\frac{2}{3}AH=\frac{2}{3}.\frac{a\sqrt{2}}{2}=\frac{a\sqrt{2}}{3}.$

Đáp án B