Tìm m để hàm số y=-1/3x^3 -mx^2 +(m^2-m+1) đạt cực đại tại x=1

Phương pháp giải:

Điểm $x=x_0$ là điểm cực đại của hàm số $y=f\left(x\right)\iff \{\begin{array}{l}{f}^{\text{'}}\left(x_0\right)=0\\ f^{\text{'}\text{'}}\left(x_0\right)<0\end{array}.$

Giải chi tiết:

Xét hàm số: $y=\frac{1}{3}{x}^3-m{x}^2+(m^2-m+1)x+1$ ta có: $y^{\text{'}}=x^2-2mx+m^2-m+1$ $\Rightarrow y^{\text{'}\text{'}}=2x-2m$

Hàm số đã cho đạt cực đại tại $x=1\iff \{\begin{array}{l}{y}^{\text{'}}\left(1\right)=0\\ y^{\text{'}}\left(1\right)<0\end{array}$

$\iff \{\begin{array}{l}1-2m+m^2-m+1=0\\ 2-2m<0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}{m}^2-3m+2=0\\ m>1\end{array}$$\iff \{\begin{array}{l}[\begin{array}{l}m=1\\ m=2\end{array}\\ m>1\end{array}\iff m=2.$