Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a cạnh bên SA=a căn 5. mặt bên

Phương pháp giải:

Gọi H là trung điểm của AB $\Rightarrow SH\perp \left(ABCD\right)$

Ta có: $AD//BC\Rightarrow AD//\left(SBC\right)$

$\Rightarrow d(AD,SC)=d(AD,\left(SBC\right))=d(A;\left(SBC\right))$

Ta có: $\frac{HB}{AB}=\frac{d(H;\left(SBC\right))}{d(A;\left(SBC\right))}=\frac{1}{2}$ $\Rightarrow d(A;\left(SBC\right))=2d(H;\left(SBC\right))$

Kẻ $HK\perp SB$ $\Rightarrow d(H;\left(SBC\right))=HK$

Giải chi tiết:

Gọi H là trung điểm của AB $\Rightarrow SH\perp \left(ABCD\right)$

Ta có: $AD//BC$ $\Rightarrow AD//\left(SBC\right)$

$\Rightarrow d(AD,SC)=d(AD,\left(SBC\right))=d(A;\left(SBC\right))$

Ta có: $\frac{HB}{AB}=\frac{d(H;\left(SBC\right))}{d(A;\left(SBC\right))}=\frac{1}{2}$$\Rightarrow d(A;\left(SBC\right))=2d(H;\left(SBC\right))$

Kẻ $HK\perp SB$

Vì $SH\perp \left(ABCD\right)\Rightarrow SH\perp AB$

Lại có: $AB\perp BC\left(gt\right)\Rightarrow AB\perp \left(SBC\right)\Rightarrow HK\perp \left(SBC\right)$

$\Rightarrow d(H;\left(SBC\right))=HK$

$\Rightarrow SH=\sqrt{S{A}^2-A{H}^2}=\sqrt{S{A}^2-{\left(\frac{AB}{2}\right)}^2}$ $=\sqrt{{\left(a\sqrt{5}\right)}^2-a^2}=2a$

Áp dụng hệ thức lượng trong $\Delta SHB$ vuông tại H, có đường cao HK ta có:

$HK=\frac{SH.BH}{\sqrt{S{H}^2+B{H}^2}}=\frac{2a.a}{\sqrt{{\left(2a\right)}^2+a^2}}=\frac{2a}{\sqrt{5}}=\frac{2a\sqrt{5}}{5}$

$\Rightarrow d(A;\left(SBC\right))=2d(H;\left(SBC\right))=2HK=\frac{4a\sqrt{5}}{5}.$