Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên dương của m để hàm số y=x^3-3(2m+1)x^2+(12m+5)x +2 đồng biến trên khoảng

* Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Hàm số $y=f\left(x\right)$ đồng biến trên $(a;b)\iff f^{\text{'}}\left(x\right)\ge 0\forall x\in (a;b).$

Giải chi tiết:

Xét hàm số: $y=x^3-3(2m+1)x^2+(12m+5)+2$

$\Rightarrow y^{\text{'}}=3x^2-6(2m+1)x+12m+5$

$\Rightarrow y^{\text{'}}=0\iff 3x^2-6(2m+1)x+12m+5=0(*)$

TH1: Hàm số đã cho đồng biến trên $ℝ$

$\iff y^{\text{'}}\ge 0\forall x\iff {\Delta }^{\text{'}}\le 0$

$\iff 9{(2m+1)}^2-3(12m+5)\le 0$

$\iff 9(4m^2+4m+1)-36m-15\le 0$

$\iff 36m^2-6\le 0\iff m^2\le \frac{1}{6}\iff -\frac{\sqrt{6}}{6}\le m\le \frac{\sqrt{6}}{6}$

TH2: Hàm số đã cho đồng biến trên $(2;+\infty )$

$\iff (*)$ có hai nghiệm phân biệt $x_1,x_2$ thỏa mãn $2\le x_1<x_2$

$\iff \{\begin{array}{l}{\Delta }^{\text{'}}>0\\ (x_1-2)(x_1-2)\ge 0\\ x_1+x_2>4\end{array}\iff \{\begin{array}{l}36m^2-6>0\\ x_1{x}_2-2(x_1+x_2)+4\ge 0\\ x_1+x_2>4\end{array}$

$\iff \{\begin{array}{l}{m}^2>\frac{1}{6}\\ \frac{12m+5}{3}-2.\frac{6(2m+1)}{3}+4\ge 0\\ \frac{6(2m+1)}{3}>4\end{array}\iff \{\begin{array}{l}[\begin{array}{l}m>\frac{\sqrt{6}}{6}\\ m<-\frac{\sqrt{6}}{6}\end{array}\\ 12m+5-24m-2+12\ge 0\\ 4m+2>4\end{array}$

$\iff \{\begin{array}{l}[\begin{array}{l}m>\frac{\sqrt{6}}{6}\\ m<-\frac{\sqrt{6}}{6}\end{array}\\ -12m\ge -15\\ m>\frac{1}{2}\end{array}\iff \{\begin{array}{l}[\begin{array}{l}m>\frac{\sqrt{6}}{6}\\ m<-\frac{\sqrt{6}}{6}\end{array}\\ m\le \frac{5}{4}\\ m>\frac{1}{2}\end{array}\iff \frac{1}{2}<m\le \frac{5}{4}$

Kết hợp hai trường hợp ta được: $[\begin{array}{l}-\frac{\sqrt{6}}{6}\le m\le \frac{\sqrt{6}}{6}\\ \frac{1}{2}<m\le \frac{5}{4}\end{array}$

Lại có: $m\in {\mathbb{Z}}^{+}\Rightarrow m=1.$

Vậy có 1 giá trị m thỏa mãn bài toán.