Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có cạnh đáy bằng a cạnh bên hợp với đáy một góc 60 độ.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tính tỉ lệ thể tích: Cho các điểm $M\in SA,N\in SB,P\in SC$ ta có: $\frac{V_{SMNP}}{V_{SABC}}=\frac{SM}{SA}.\frac{SN}{SB}.\frac{SP}{SC}.$

Giải chi tiết:

Gọi $\{\begin{array}{l}BM\cap AD=\left\{P\right\}\\ MN\cap SD=\left\{Q\right\}\end{array}$

Khi đó ta có: P là trung điểm của AD và Q là trọng tâm $\Delta SMC.$

Gọi V là thể tích của khối chóp $S.ABCD.$

$V_1$ là thể tích khối chóp $PDQ.BCN$ và $V_2$ là thể tích khối chóp còn lại.

Khi đó: $V=V_1+V_2.$

Ta có: $\frac{V_{M.PDQ}}{V_{M.BCN}}=\frac{MP}{MB}.\frac{MD}{MC}.\frac{MQ}{MN}=\frac{1}{2}.\frac{1}{2}.\frac{2}{3}=\frac{1}{6}$

Lại có: $V_{M.BCN}=V_{M.PDQ}+V_1$ $\Rightarrow V_1=\frac{5}{6}{V}_{M.BCN}$

Mà: $\{\begin{array}{l}{S}_{AMBC}=S_{ABDC}\\ d(N;\left(ABCD\right))=\frac{1}{2}d(S;\left(ABCD\right))\end{array}\Rightarrow V_{M\mathrm{..}BCN}=V_{N.MBC}=\frac{1}{2}{V}_{S.ABCD}=\frac{V}{2}$