Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có cạnh BC=2a , góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (A'BC) bằng

- Trong $\left(ABC\right)$ kẻ $AM\perp BC(M\in BC)$, xác định góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt thuộc hai mặt phẳng và cùng vuông góc với giao tuyến.

- Sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông tính chiều cao $A{A}^{\text{'}}$.

- Vì $\Delta ABC$ là hình chiếu vuông góc của $\Delta A^{\text{'}}BC$, sử dụng công thức $S_{ABC}=S_{A^{\text{'}}BC}.\cos \angle (\left(A^{\text{'}}BC\right);\left(ABC\right))$.

- Tính thể tích khối lăng trụ

Trong $\left(ABC\right)$ kẻ $AM\perp BC(M\in BC)$ ta có: $\{\begin{array}{l}BC\perp AM\\ BC\perp A{A}^{\text{'}}\end{array}\Rightarrow BC\perp \left(A{A}^{\text{'}}M\right)$ $\Rightarrow A^{\text{'}}M\perp BC$

Ta có: $\{\begin{array}{l}\left(A^{\text{'}}BC\right)\cap \left(ABC\right)=BC\\ A^{\text{'}}M\subset \left(A^{\text{'}}BC\right);A^{\text{'}}M\perp BC\\ AM\subset \left(ABC\right);AM\perp BC\end{array}$

$\Rightarrow \angle (\left(A^{\text{'}}BC\right);\left(ABC\right))=\angle (A^{\text{'}}M;AM)=\angle A^{\text{'}}MA={60}^0$

Ta có $S_{A^{\text{'}}BC}=\frac{1}{2}{A}^{\text{'}}M.BC=2a^3$ $\iff \frac{1}{2}{A}^{\text{'}}M.2a=2a^2\iff A^{\text{'}}M=2a$.

Xét tam giác vuông $A{A}^{\text{'}}M$ ta có: $A{A}^{\text{'}}=A^{\text{'}}M.\sin {60}^0=2a.\frac{\sqrt{3}}{2}=a\sqrt{3}$.

Vì $\Delta ABC$ là hình chiếu vuông góc của $\Delta A^{\text{'}}BC$ nên ta có: $S_{ABC}=S_{A^{\text{'}}BC}.\cos \angle A^{\text{'}}MA=2a^2.\frac{1}{2}=a^2$.

Vậy $V_{ABC.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}=A{A}^{\text{'}}.S_{ABC}=a\sqrt{3}.a^2=a^3\sqrt{3}$