Số các giá trị của tham số m để hàm số y=(x-m^2-1)/(x-m) có giá trị lớn nhất trên bằng là:

Phương pháp giải:

- Tính đạo hàm, sử dụng tính chất hàm phân thức bậc nhất luôn đơn điệu trên từng khoảng xác định của chúng, từ đó suy ra GTLN của hàm số trên $[0;4]$.

Giải chi tiết:

TXĐ: $D=ℝ\backslash \left\{m\right\}$.

Ta có: $y^{\text{'}}=\frac{-m+m^2+1}{{(x-m)}^2}>0\forall x\ne m$.

Để hàm số có GTLN trên $[0;4]$bằng $-6$ thì điều kiện cần là hàm số phải xác định trên $[0;4]$

$\Rightarrow m\notin [0;4]\Rightarrow [\begin{array}{l}m<0\\ m>4\end{array}$.

Khi đó hàm số đã cho đồng biến trên $[0;4]$, do đó $\underset{[0;4]}{max}y=y\left(4\right)=\frac{3-m^2}{4-m}=-6$.

$\iff 3-m^2=-24+6m\iff m^2+6m-27=0\iff [\begin{array}{l}m=3\left(KTM\right)\\ m=-9\left(TM\right)\end{array}$.

Vậy có duy nhất 1 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán là $m=-9$.