Tìm giá trị thực của tham số m để đường thẳng d:y=(3m+1)x+3+m vuông góc với đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số.

Phương pháp giải:

- Giải phương trình $y^{\text{'}}=0$, từ đó xác định 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số $A(x_1;y_1),B(x_2;y_2)$.

- Viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số: $AB:\frac{x-x_1}{x_2-x_1}=\frac{y-y_1}{y_2-y_1}$.

- Hai đường thẳng $d:y=ax+b$ và $d^{\text{'}}:y=a^{\text{'}}x+b^{\text{'}}$ vuông góc với nhau khi và chỉ khi $a.a^{\text{'}}=-1$.

Giải chi tiết:

Ta có: $y=x^3-3x^2-1\Rightarrow y^{\text{'}}=3x^2-6x$.

$y^{\text{'}}=0\iff 3x(x-2)=0\iff [\begin{array}{l}x=0\Rightarrow y=-1\\ x=2\Rightarrow y=1\end{array}$, do đó đồ thị hàm số đã cho có 2 điểm cực trị $A(0;-1);B(2;-5)$.

Phương trình đường thẳng $AB$ là: $\frac{x-0}{2-0}=\frac{y+1}{-5+1}\iff y=-2x-1$.

Để $AB\perp d$ thì $(3m+1).(-2)=-1\iff 3m+1=\frac{1}{2}\iff m=-\frac{1}{6}$.