Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có cạnh đáy bằng a và mặt bên tạo với đáy một góc45 độ . Thể tích của khối chóp là:

Phương pháp giải:

- Gọi $O=AC\cap BD\Rightarrow SO\perp \left(ABCD\right)$ và M là trung điểm của CD.

- Xác định góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt thuộc hai mặt phẳng và cùng vuông góc với giao tuyến.

- Sử dụng tính chất tam giác vuông cân để tính chiều cao khối chóp.

- Tính thể tích khối chóp $V_{S.ABCD}=\frac{1}{3}SO.S_{ABCD}$.

Giải chi tiết:

Gọi $O=AC\cap BD\Rightarrow SO\perp \left(ABCD\right)$ và M là trung điểm của CD.

Ta có $\{\begin{array}{l}\left(SCD\right)\cap \left(ABCD\right)=CD\\ SM\subset \left(SCD\right);SM\perp CD\\ OM\subset \left(ABCD\right);OM\perp CD\end{array}$

$\Rightarrow \angle (\left(SCD\right);\left(ABCD\right))=\angle (SM;OM)=\angle SMO={45}^0$

$\Rightarrow \Delta SOM$ là tam giác vuông cân tại O.

Vì ABCD là hình vuông cạnh a nên $OM=\frac{a}{2}\Rightarrow SO=OM=\frac{a}{2}$.

Vậy thể tích khối chóp là $V_{S.ABCD}=\frac{1}{3}SO.S_{ABCD}=\frac{1}{3}.\frac{a}{2}.a^2=\frac{a^3}{6}$.