Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a ,SA vuông góc với mặt phẳng ABC

Phương pháp giải:

- Sử dụng định lí: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc giữa đường thẳng và hình chiếu của nó trên mặt phẳng, từ đó xác định góc giữa SB và $\left(ABC\right)$.

- Sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông tính độ dài cạnh SA.

- Sử dụng công thức tính nhanh diện tích tam giác đều cạnh $a$ là $S=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.

- Tính thể tích khối chóp $V_{S.ABC}=\frac{1}{3}SA.S_{\Delta ABC}$.

Giải chi tiết:

Vì $SA\perp \left(ABC\right)\left(gt\right)$ nên AB là hình chiếu vuông góc của SB lên $\left(ABC\right)$, do đó $\angle (SB;\left(ABC\right))=\angle (SB;AB)=\angle SBA={60}^0$.

Xét tam giác vuông $SAB$ ta có: $SA=AB.\tan \angle SBA=a.\tan {60}^0=a\sqrt{3}$.

Tam giác ABC đều cạnh a nên $S_{\Delta ABC}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.

Vậy $V_{S.ABC}=\frac{1}{3}SA.S_{\Delta ABC}=\frac{1}{3}.a\sqrt{3}.\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=\frac{a^3}{4}$.

Đáp án C