Tính tổng các giá trị nguyên của tham số m trên [-20;20] để hàm số nghịch biến trên khoảng .

Phương pháp giải:

- Đặt $t=\sin x$, xét trên khoảng $x\in (\frac{\pi }{2};\pi )$, tìm khoảng giá trị tương ứng của t, xét xem t có cùng tính tăng giảm với x hay không.

- Đưa bài toán về dạng tìm m đểhàm số $y=f\left(t\right)$ đơn điệu trên khoảng cho trước.

Giải chi tiết:

Đặt $t=\sin x$, với $x\in (\frac{\pi }{2};\pi )$ thì t giảm từ 1 về 0.

Khi đó bài toán trở thành: Tìm m để hàm số $y=\frac{t+m}{t-1}$ đồng biến trên $(0;1)$ (*).

TXĐ: $D=ℝ\backslash \left\{1\right\}\Rightarrow$ Hàm số đã cho xác định trên $(0;1)$. Ta có .

Do đó $(*)\iff \frac{-1-m}{{(t-1)}^2}>0\iff -1-m>0\iff m<-1$.

Kết hợp điều kiện đề bài ta có $-20\le m<-\mathrm{1,}m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m\in \{-20;-19;-18;\mathrm{...};-2\}$.

Vậy tổng các giá trị của m thỏa mãn là $-20-19-18-\mathrm{...}-2=-209$.

Đáp án C