Cho hàm số y=f(x) bậc ba có đồ thị là đường cong như hình vẽ bên. Hỏi phương trình f(xf(x))-2=0 có bao nhiêu nghiệm phân biệt.

* Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

- Đặt $t=xf\left(x\right)\Rightarrow f\left(t\right)=2$. Sử dụng tương giao đồ thị hàm số giải phương trình tìm t.

- Cô lập $f\left(x\right)$, tiếp tục sử dụng tương giao hàm số để giải phương trình.

- Sử dụng kĩ năng chọn đại diện 1 số cụ thể thỏa mãn điều kiện, để bài toán đơn giản hơn.

Giải chi tiết:

Đặt $t=xf\left(x\right)$ ta có: $f\left(t\right)-2=0\iff f\left(t\right)=2$.

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy phương trình $f\left(t\right)=2$ có 3 nghiệm phân biệt $[\begin{array}{l}t=a\in (-4;-2)\\ t=0\\ t=b\in (0;2)\end{array}$.

$\Rightarrow [\begin{array}{l}xf\left(x\right)=a\in (-4;-2)\\ xf\left(x\right)=0\\ xf\left(x\right)=b\in (0;2)\end{array}\iff [\begin{array}{l}f\left(x\right)=\frac{a}{x}(x\ne 0);a\in (-4;-2)\\ x=0\\ f\left(x\right)=0\iff x=-4\\ f\left(x\right)=\frac{b}{x}(x\ne 0);b\in (0;2)\end{array}$

Chọn $a=-3$, xét phương trình $f\left(x\right)=-\frac{3}{x}\left(1\right)$, số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)$ và $y=-\frac{3}{x}$.

Chọn $b=1$, xét phương trình $f\left(x\right)=\frac{1}{x}\left(2\right)$, số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)$ và $y=\frac{1}{x}$.

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy phương trình (1) có 2 nghiệm, phương trình (2) có 2 nghiệm.

Vậy phương trình đã cho có 6 nghiệm phân biệt.

Đáp án D