Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B vầC=2a. Hình chiếu vuông góc cua A'

Phương pháp giải:

- Sử dụng tính chất tam giác vuông cân tính độ dài hai cạnh góc vuông.

- Sử dụng định lí Pytago trong tam giác vuông tính độ dài đường cao $A^{\text{'}}H$.

- Sử dụng công thức tính thể tích khối lăng trụ $V_{ABC.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}=A^{\text{'}}H.S_{ABC}$.

Giải chi tiết:

Vì tam giác ABC vuông cân tại B nên $AB=BC=\frac{AC}{\sqrt{2}}=a\sqrt{2}$.

Gọi H là trung điểm của AB, ta có $A^{\text{'}}H\perp \left(ABC\right)$ và $AH=BH=\frac{1}{2}AB=\frac{a\sqrt{2}}{2}$.

Vì $A^{\text{'}}H\perp \left(ABC\right)\Rightarrow A^{\text{'}}H\perp AH$ nên tam giác $A^{\text{'}}AH$ vuông tại H. Áp dụng định lí Pytago ta có:

$A^{\text{'}}H=\sqrt{A{A^{\text{'}}}^2}-A{H}^2=\sqrt{{\left(a\sqrt{2}\right)}^2-{\left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)}^2}=\frac{a\sqrt{6}}{2}$.

Ta có: $S_{ABC}=\frac{1}{2}AB.BC=\frac{1}{2}.a\sqrt{2}.a\sqrt{2}=a^2$.

Vậy $V_{ABC.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}=A^{\text{'}}H.S_{ABC}=\frac{a\sqrt{6}}{2}.a^2=\frac{a^3\sqrt{6}}{2}$.

Đáp án C