Cho hàm số f(x) xác định và có đạo hàm f'(x) liên tục trên đoạn [1;3] và f(x) khác 0 với mọi x thuộc ( 1; 3 ) , đồng thời f'(x)(1+f(x))^2 = [(f(x))^2 (x - 1) ]^2 và f(1) = -1 Biết...

* Hướng dẫn giải

Chọn A.

Ta có: $f\text{'}\left(x\right){(1+f(x\left)\right)}^2={\text{[}{\left(f\right(x\left)\right)}^2(x-1)\text{]}}^2<=>\frac{f\text{'}\left(x\right){(1+f(x\left)\right)}^2}{f^4\left(x\right)}={(x-1)}^{2.}$

Lấy nguyên hàm 2 vế ta được $\int \frac{f\text{'}\left(x\right){(1+f(x\left)\right)}^2}{f^4\left(x\right)}dx=\int {(x-1)}^{2}dx$

$\begin{array}{l}<=>\int \frac{(1+2f(x)+f^2(x\left)\right)f\text{'}\left(x\right)}{f^4\left(x\right)}dx=\int {(x-1)}^{2}dx\\ <=>\int \left(\frac{1}{f^4\left(x\right)}+2\frac{1}{f^3\left(x\right)}+\frac{1}{f^2\left(x\right)}\right)d\left(f\right(x\left)\right)=\frac{{(x-1)}^3}{3}+C\\ <=>-\frac{1}{3f^3\left(x\right)}-\frac{1}{f^2\left(x\right)}-\frac{1}{f\left(x\right)}=\frac{{(x-1)}^3}{3}+C\\ <=>-\frac{1+3f\left(x\right)+3f^2\left(x\right)}{3f^3\left(x\right)}=\frac{{(x-1)}^3}{3}+C\end{array}$

Mà $f\left(1\right)=-1=>-\frac{1-3+3}{-3}=C=>C=\frac{1}{3}$

$\begin{array}{l}=>-\frac{1+3f\left(x\right)+3f^2\left(x\right)}{3f^3\left(x\right)}=\frac{{(x-1)}^3}{3}+\frac{1}{3}\\ <=>\frac{1+3f\left(x\right)+3f^2\left(x\right)}{3f^3\left(x\right)}+\frac{1}{3}=-\frac{{(x-1)}^3}{3}\\ <=>\frac{{(1+f(x\left)\right)}^3}{f^3\left(x\right)}=-{(x -1)}^3\\ <=>{\left(1+\frac{1}{f\left(x\right)}\right)}^3={(1-x)}^3\\ <=>f\left(x\right)=\frac{-1}{x}.\end{array}$

Vậy $\underset{1}{\overset{3}{\int }}f\left(x\right)dx=\underset{1}{\overset{3}{\int }}\frac{-1}{x}dx=-\ln \left|x\right|\left|\begin{array}{l}3\\ 1\end{array}\right.=-\ln 3$. Suy ra $a=-1;b=0$ hay $a+b=-1$.